L'énoncé permet d'affirmer qu'il y a 6 fois plus de maisons habitées par des couples que par des célibataires.
Sachant que 2 hommes sont célibataires, connaître le nombre de femmes célibataires permet de calculer le nombre total de femmes et d'hommes.
L'énoncé nous dit aussi que le nombre de femmes doit être un multiple de 11 et le nombre d'hommes un multiple de 7.
Soit n le nombre de femmes célibataires
Nombre de célibataires : \(n + 2\)
Nombres de couples : \(6(n + 2)\)
Nombre de femmes : \(6(n + 2) + n = 7n + 12\)
Nombre d'hommes : \(6(n + 2) + 2 = 6n + 14\)
\(6n + 14\) doit être un multiple de \(7\), donc \(n\) doit être un multiple de \(7\)
Il ne reste plus qu'à essayer \(n = 7 ; n = 14\) ; etc, pour trouver un nombre de femmes multiple de \(11\).
La solution \(n = 14\) convient.
Il y a 16 maisons habitées par des célibataires et 96 habitées par des couples. Ces 112 maisons consomment 896 stères de bois par an.
- La solution est indépendante du temps d'escale, pour la suite nous considérerons qu'il est nul.
- La première distance de croisement est mesurée par rapport à la rive d'où part le bateau le plus lent. La seconde est obligatoirement mesurée par rapport à la rive opposée d'où part à nouveau le bateau le plus lent, sous peine d’aberration.
La solution mathématique de ce problème repose sur la résolution d'un système de 2 équations à 2 inconnues (la largeur du lac et le rapport des vitesses).
Au moment du premier croisement, les bateaux avaient parcouru, à eux deux, la largeur du lac. Au moment du second croisement, les bateaux ont parcouru, à eux deux, 3 fois la largeur du lac.
Cette proportion est vraie aussi pour chaque bateau pris individuellement : au moment du second croisement, chaque bateau aura parcouru 3 fois la distance qu'il avait parcouru au moment du premier croisement.
Nous en déduisons qu'au moment du second croisement, le bateau le plus lent a parcouru \(3 \times 5 = 15 km\).
Comme il vient de parcourir \(3 km\) sur la route du retour, la largeur du lac est donc de \(12 km\).
La solution se limite à l’opération : \((3 \times 5) - 3\)
La solution de ce problème difficile s'obtient en se posant ce genre de questions :
- Peut-on répondre 0 dans certaines lignes ?
- Peut-on répondre 8 dans certaines lignes ?
- Peut-on répondre 9 dans certaines lignes ?
- Peut-on répondre 1 dans la deuxième ligne ?
- Peut-on répondre par des nombres à 2 chiffres, à 3 chiffres, etc ?
Une première solution de l'énigme :
| Dans ce tableau, le chiffre 0 est écrit 1 fois |
| Dans ce tableau, le chiffre 1 est écrit 11 fois |
| Dans ce tableau, le chiffre 2 est écrit 2 fois |
| Dans ce tableau, le chiffre 3 est écrit 1 fois |
| Dans ce tableau, le chiffre 4 est écrit 1 fois |
| Dans ce tableau, le chiffre 5 est écrit 1 fois |
| Dans ce tableau, le chiffre 6 est écrit 1 fois |
| Dans ce tableau, le chiffre 7 est écrit 1 fois |
| Dans ce tableau, le chiffre 8 est écrit 1 fois |
| Dans ce tableau, le chiffre 9 est écrit 1 fois |
Une seconde solution de l'énigme :
| Dans ce tableau, le chiffre 0 est écrit 1 fois |
| Dans ce tableau, le chiffre 1 est écrit 7 fois |
| Dans ce tableau, le chiffre 2 est écrit 3 fois |
| Dans ce tableau, le chiffre 3 est écrit 2 fois |
| Dans ce tableau, le chiffre 4 est écrit 1 fois |
| Dans ce tableau, le chiffre 5 est écrit 1 fois |
| Dans ce tableau, le chiffre 6 est écrit 1 fois |
| Dans ce tableau, le chiffre 7 est écrit 2 fois |
| Dans ce tableau, le chiffre 8 est écrit 1 fois |
| Dans ce tableau, le chiffre 9 est écrit 1 fois |
Divisons les pièces en 3 piles de 4 pièces. Les piles sont nommées respectivement A, B et C.
Première pesée : plaçons respectivement A et B sur chaque plateau de la balance.
Les piles A et B ne contiennent que de vraies pièces, la fausse pièce est dans la pile C.
Deuxième pesée : plaçons 3 vraies pièces sur le plateau gauche et 3 pièces issues de C sur le plateau droit.
Si la balance est en équilibre, le problème est résolu avec une troisième pesée.
Si la balance penche à droite, la fausse pièce est sur le plateau droit et on sait qu'elle est plus lourde.
Si la balance penche à gauche, la fausse pièce est sur le plateau droit et on sait qu'elle est plus légère.
Troisième pesée : parmi les 3 pièces douteuses, plaçons une pièce sur chaque plateau de la balance. Le problème est résolu.
La pile A est plus lourde que la pile B :
- soit la pile A contient la fausse pièce qui est plus lourde.
- soit la pile B contient la fausse pièce qui est plus légère.
- la pile C ne contient que de vraies pièces.
Deuxième pesée : sur le plateau gauche plaçons les 4 vraies pièces de la pile C et une pièce issue de A, sur le plateau droit plaçons les 3 pièces restantes issues de A et 2 pièces issues de B.
Si la balance est en équilibre, la fausse pièce est l'une des 2 pièces restantes de la pile B, le problème est résolu avec la troisième pesée.
Si la balance penche à droite, la fausse pièce est sur le plateau droit parmi les 3 pièces issues de A, le problème est résolu avec la troisième pesée.
Si la balance penche à gauche, la fausse pièce est celle issues de A sur le plateau gauche, le problème est résolu sans la troisième pesée.
À l'heure où le capitaine Smith part du Havre, il reste 24 heures de navigation au prochain bateau avant son arrivée au Havre ; le capitaine Smith croise donc ce collègue 12 heures après son appareillage.
À l'heure où le capitaine Smith part du Havre, il reste 48 heures de navigation au bateau suivant avant son arrivée au Havre ; le capitaine Smith croise donc ce collègue 24 heures après son appareillage.
Et ainsi de suite, le capitaine Smith croise un bateau de sa compagnie toutes les 12 heures. En 7 jour, il croise donc 14 bateaux après son départ. Mais le 14ième bateau qu'il voit est celui qui quitte New York quand Smith y arrive, il ne doit pas être compté.
Le capitaine Smith croise donc en haute mer 13 bateaux de sa compagnie.
Comptons tous les bateaux que le capitaine Smith voit au cours de la traversée.
- Le premier est parti de New York 7 jours avant l'appareillage de Smith. C'est celui qui arrive au Havre quand le capitaine Smith appareille.
- Le dernier partira de New York 7 jours après l'appareillage de Smith. C'est celui qui part de New York quand le capitaine Smith y arrive.
- Entre ces deux dates, on compte 13 jours, c'est le nombre de bateaux que le capitaine Smith croise en haute mer.
Convention : l'aire d'un triangle sera exprimée par : \(A_{ABC}\)
Remarque : pour une hauteur donnée, l'aire d'un triangle est proportionnelle à sa base.
Cette remarque permet d'écrire : $$\frac{A_{CJM}}{A_{CJA}}=\frac{A_{CBM}}{A_{CBA}}$$ et $$\frac{A_{BJN}}{A_{BJA}}=\frac{A_{BCN}}{A_{BCA}}$$
Soient \( \qquad x=A_{AJM} \qquad ; \qquad y=A_{AJN} \qquad ; \qquad s=A_{ABC}\)
Les égalités ci-dessus s'écrivent maintenant : $$\frac{3}{x+3}=\frac{10}{s}$$ et : $$\frac{7}{y+7}=\frac{14}{s}$$ De plus : $$s=x+y+17$$ La résolution de ce système donne facilement : \(s = 35\)
Comme suggéré dans l'énoncé, Madame Parizot marche normalement et on peut donc estimer sa vitesse autour de 5 km/h.
Le trajet de la voiture ayant été réduit de 8 minutes, cela signifie que le chauffeur a rencontré sa patronne 4 minutes avant d'arriver à son domicile, soit à 7h56.
Madame Parizot a donc marché pendant 56 minutes sur une distance que son chauffeur aurait dû parcourir en 4 minutes.
Le chauffeur roule donc 14 fois plus vite que ne marche sa patronne, c'est-à-dire à environ 70 km/h.
Le problème consiste à trouver la valeur de \(\hat{a_1} + \hat{a_2}\).
Ajoutons 3 autres carrés sous ceux de l'énoncé et construisons le triangle \(ABC\) tel que sur la figure ci-dessus.
On note que :
\(\widehat{BCF} = \widehat{ABD} = \hat{a_2}\)
et \(AB = BC\)
Le triangle \(BCF\) étant rectangle : \(\hat{C} + \widehat{BCF} = 90°\)
donc \(\widehat{ABC} = 90°\).
Comme le triangle \(ABC\) est rectangle-isocèle : \(\widehat{ACB} = 45°\)
donc \(\hat{a_1} + \hat{a_2} = 45°\)
donc \(\hat{a_1} + \hat{a_2} + \hat{a_3} = 90°\)
On suppose que chaque acteur est égoïste et souhaite un partage équitable.
Appelons les trois protagonistes : Xavier, Yvonne et Zoé.
Donnons le couteau à Xavier pour qu'il coupe la première part.
Donnons ensuite le couteau à Yvonne. Yvonne a deux options : soit elle coupe le reste de la tarte en deux, soit elle prend la première part déjà coupée.
- Si Yvonne coupe le reste de la tarte en deux, alors Zoé choisit sa part, puis Yvonne et enfin Xavier.
- Si Yvonne prend la part coupée par Xavier, elle donne alors le couteau à Zoé qui coupe le reste de la tarte en deux, alors Xavier choisit sa part, puis Zoé.
Appelons V et v les vitesses du premier et du second train.
D et d sont les distances respectives parcourues par chaque train avant le croisement.
Le temps entre le départ et le croisement est le même pour les deux trains :
\(\frac{D}{V}=\frac{d}{v} \qquad \Rightarrow \qquad \frac{D}{d}=\frac{V}{v}\)
Le temps entre le croisement et l'arrivée est 4 fois plus long pour le train le plus lent :
\(\frac{d}{V}=4\frac{D}{v}\qquad \Rightarrow \qquad \frac{D}{d}=\frac{v}{4V}\)
D'où l'équation :
\(\frac{V}{v}=\frac{v}{4V} \qquad \Rightarrow \qquad 4V^2=v^2 \qquad \Rightarrow \qquad \frac{V}{v}=2\)
Le nombre de napperons réalisés est proportionnel au nombre de dentelières et au nombre de jours de travail.
En langage mathématique, cette proposition s'écrit :
\(N = k \times D \times J\) avec :
\(N\) = nombre de napperons réalisés
\(k\) = coefficient
\(D\) = nombre de dentelières
\(J\) = nombre de jours de travail
Le coefficient \(k\) représente le nombre de napperons réalisés par une dentelière en une journée.
Cette équation est équivalente à :
\(\frac{N}{D.J} = k = constante\)
Appliquons cette équation au problème actuel en nommant \(x\) le nombre de jours cherché :
\(\frac{9}{5 \times 3} = \frac{12}{4x}\)
Il vient \(x = 5\)
Appelons
\(d\) : la distance AB
\(V\) : la vitesse propre de l'avion
\(w\) : la vitesse du vent
\(t_1\) : le temps de vol aller
\(t_2\) : le temps de vol retour
\(d = (V - w) t_1\)
\(d = (V + w) t_2\)
En éliminant \(w\) dans ces deux équations, on trouve le temps \(T\) du vol aller-retour :
\(T = \frac{2 \times d}{V} = \frac{4 \times t_1 \times t_2}{t_1 + t_2}\)
\(\frac{T}{2}\) est la moyenne harmonique de \(t_1\) et \(t_2\)
Le temps aller-retour sans vent est 4.8 heures soit 4 heures et 48 minutes.
On peut aussi en déduire que le vent valait 20% de la vitesse propre de l'avion.
Remarquons que les affirmations 1 et 3 sont contradictoires, donc l'une d'entre elles est vraie.
Comme par hypothèse, une seule affirmation est vraie, l'affirmation 2 est donc fausse.
On en déduit que la voiture est dans la boîte n° 2.
Dans le premier cas, le salaire de la secrétaire est une suite arithmétique de 5 termes (de 0 à 4), de premier terme \(Uo = 12000\) et de raison \(r = 100\).
Dans le second cas, le salaire de la secrétaire est une suite arithmétique de 10 termes (de 0 à 9), de premier terme \(Uo = 6000\) et de raison \(r = 30\).
La somme des termes de \(i = 0\) à \(i = n\) d'une suite arithmétique de raison \(r\), vaut :
\( \sum_{\substack{i=0}}^n U_i = \frac{(n + 1)(2Uo + nr)}{2} \)
Avec \( n=4 \) dans le premier cas et \( n=9 \) dans le second cas.
On constate que le second contrat est plus intéressant pour la secrétaire et ce, dès la première année.
Avec le premier contrat, elle gagne 61000 euros en 5 ans.
Avec le second contrat, elle gagne 61350 euros en 5 ans.
Au jeu de pile ou face, l'expérience je lance la pièce une fois, ne permet pas de jouer équitablement.
Intéressons-nous à l'expérience je lance la pièce deux fois de suite. Les quatre événements possibles sont :
Pour simplifier l'explication, prenons l'exemple d'une pièce dont la probabilité de faire pile est 0.6 et la probabilité de faire face est 0.4.
Quand je lance la pièce deux fois de suite, la probabilité P de chaque événement élémentaire est :
On constate que les deuxième et quatrième probabilités sont identiques et ce, quelque soit la façon dont la pièce est truquée.
Les règles du jeu seront donc établies ainsi :
\(AB\) représente la ligne de flottaison.
La définition de la puissance d'un point par rapport à un cercle permet d'écrire la relation :
\(HA \times HB = HC \times HD\)
La résolution de cette équation donne le rayon \(R\) de la sphère.
Le volume de la sphère est :
\(V_s= \frac{4}{3} \pi R^3\)
Le volume de la calotte émergée est :
\(V_c= \frac{1}{3} \pi h^2(3R-h)\)
La différence \(V_s - V_c\) donne le volume immergé donc la masse par le théorème d'Archimède
La masse de la sphère est 9163 kg
Hypothèse : le nombre \(x\) est affiché à l'écran et le nombre \(m\) est stocké en mémoire.
But : stocker \(x\) en mémoire à la place de \(m\).
Appuyez successivement sur les touches : [Moins] puis [MRC] puis [=]
Le nombre affiché à l'écran est maintenant : \(x - m\)
Appuyez sur la touche : [M+]
Le nombre en mémoire est maintenant : \(m + (x - m)\) c'est à dire \(x\).
Remarque : beaucoup de calculatrices remplacent la touche unique [MRC] par deux touches :
- une touche [MR] (mémory recall) pour appeler et afficher le nombre en mémoire,
- une touche [MC] (mémory clear) pour effacer le nombre en mémoire.
Cette configuration, plus élégante, est plus simple à utiliser.
La méthode de Newton est utilisée ici pour trouver le zéro de la fonction :
\(g(x)=x^2-2\)
La solution est la limite de la suite récurrente :
\(U_n=f(U_{n-1})\)
avec \(f(x)= \frac{N}{2x} + \frac{x}{2}\)
\(U_n\) est une suite convergente de limite \( \sqrt{N}\)
Méthode pour trouver la racine de \(N\) :
La convergence de \(U_n\) vers \( \sqrt N \) est très rapide.
L'utilisation de la mémoire de la calculatrice est quasiment indispensable car après chaque calcul, il faut mémoriser \(U_n\).
Exemple : calculez \( \sqrt 2 \)
En prenant \( X_0=1 \), on obtient \( \sqrt 2 \) avec 11 décimales dès la quatrième itération.
La méthode de Newton permet, de la même façon, de trouver la racine nième d'un nombre avec une calculatrice simple.
Cherchons à déterminer la racine carrée de \(3\).
Traçons un segment \(AB\) de longueur \(3+1=4\).
Traçons le demi-cercle de diamètre \(AB\).
Plaçons sur \(AB\) un point \(M\) tel que \(AM = 1\).
La perpendiculaire à \(AB\) en \(M\) coupe le demi-cercle en \(N\).
Écrivons la puissance du point \(M\) par rapport au cercle.
\(MA.MB=MN^2\)
La longueur du segment \(MN\) vaut \( \sqrt 3 \).
L'équation \(x^2 - 7x + 10 = 0\) a deux racines dont la somme \(S\) et le produit \(P\) sont :
\(S = 7\)
\(P = 10\)
Plaçons un point \(C\) de coordonnées \( \frac{S}{2} = \frac{7}{2} \) et \( \sqrt{P} = \sqrt{10} \).
Voir l'énigme précédente pour construire géométriquement \( \sqrt{10} \).
Traçons un cercle de centre \( C \) et de rayon \( r = \sqrt{10} \).
Les points d'intersection du cercle avec l'axe des abscisses sont les racines de l'équation \(x^2 - 7x + 10 = 0 \)
La mesure donne \(2\) et \(5\).
Le nombre de voitures qui croisent le cycliste ou qui le dépassent est proportionnel à la vitesse relative voitures / cycliste. Les vitesses relatives sont respectivement 100 et 60 km/h. Soit x le nombre de voitures qui le dépassent, la proportionnalité s'écrit :
\(x / 60 = 150 / 100\)
Soit \(x = 90\).
La mesure du côté d'un carreau doit être, à la fois, un diviseur de la longueur de la pièce et un diviseur de la largeur de la pièce.
C'est à dire le plus grand diviseur commun (PGCD) de 972 et 576 si on choisit le centimètre comme unité.
Chaque carreau doit donc mesurer 36 cm de côté.
Ainsi il faudra 432 carreaux, 27 en longueur et 16 en largeur.
Le côté de la pièce, exprimé en millimètres, doit être à la fois un multiple de 100 et un multiple de 126.
C'est à dire le plus petit commun multiple (PPCM) de 100 et 126.
La pièce doit donc mesurer au minimum 6300 mm de côté.
Ainsi il faudra 3150 carreaux, 63 sur un côté et 50 sur l'autre.
Le pain servira d'unité de mesure.
Chaque pélerin mange \( \frac{5}{3} \) de pain
Le premier pélerin a donné au troisième \( 2-\frac{5}{3} = \frac{1}{3} \)
Le deuxième pélerin a donné au troisième \(3-\frac{5}{3}=\frac{4}{3} \)
Le deuxième pélerin ayant contribué 4 fois plus que le premier, il prendra 4 pièces de 10 centimes et en donnera une à son compagnon.
Soient \(L\) et \(l\) la longueur et la largeur du rectangle \(ABCD\).
Évaluons le segment \(AP \Rightarrow AP = \frac{10}{L}\)
Évaluons le segment \(CQ \Rightarrow CQ = \frac{12}{l}\)
Écrivons que le double de l'aire \(DPQ\) vaut \(4\) :
\((l - 10 / L)(L - 12 / l) = 4\)
Développons l'expression et posons \(X = Ll\) (aire du rectangle), on obtient l'équation :
\(X^2- 26X + 120 = 0\)
dont une des racines est \(20\) (l'autre racine est incompatible avec la figure).
L'aire du triangle blanc est donc : \(20 - 6 - 5 - 2 = 7\)
La règle : "Si une carte porte un D sur une face, alors elle porte un 5 sur l'autre face." doit être vérifiée.
La droite \(MQ\) coupe \(PO)\) en \(N\).
Le point \(N\) est sur le cercle car l'hypothénuse du triangle \(PMN\) passe par \(O\), le centre du cercle.
Soit \(x=QN\)
Les triangles \(PMN\) et \(QON\) étant semblables :
\(\frac{PN}{QN}=\frac{MN}{ON}\)
Le triangle \(PMN\) étant rectangle :
\(PN^2=PM^2+MN^2\)
Soit :
\(\frac{2r}{x}=\frac{x+7}{r}\)
\(4r^2=576+(x+7)^2\)
La résolution de ce système donne \(r=20\)
Traçons les rayons \(OB\) et \(OD\).
\(OA=\sqrt{r^2-16}\)
\(OC=\sqrt{r^2-9}\)
Écrivons que \(OA+OC=7\) :
\(\sqrt{r^2-16}+\sqrt{r^2-9}=7\)
\(\sqrt{r^2-9}=7-\sqrt{r^2-16}\)
Élevons les 2 membres au carré :
\(r^2-9=49+r^2-16-14\sqrt{r^2-16}\)
\(\sqrt{r^2-16}=3\)
\(r^2-16=9\)
\(r=5\)
Soit \(r\) le rayon du cercle.
De \(B\), abaissons la perpendiculaire à \(CD\) qui coupe \(CD\) en \(H \Rightarrow BH=2r\).
Le cercle est tangent au trapèze en \(I\), \(J\) et \(K\).
Remarquons que \(CH=3\), \(BJ=BK=3-r\) et \(CI=CK=6-r\).
La relation de Pythagore dans le triangle \(BCH\) s'écrit :
\((3-r+6-r)^2=4r^2+9\)
D'où \(r=2\)